使用短通和长通滤光片的定制带通滤光片

带通滤光片是仅允许特定波长范围的光通过，并阻止除此范围外其他波长光通过的一种光学滤光片多种现成的带通滤光片可供您选择，但当您的应用场景对滤光片的带宽或者中心波长有特殊要求，现有的滤光片都不满足您的需要时，可以通过叠加长波通与短波通滤光片的方法来制作自定义带通波长范围的滤光片。长波通滤光片是一种能够在反射短波光的同时，允许长波光透射、通过的光学滤光片。与之相反的，短波通滤光片允许短波光透射但会反射长波光。如图1所示，为长波通滤光片与短波通滤光片的示例。

图 1: 长波通与短波通滤光片的透射率曲线对比

透射率曲线与Heaviside 阶跃函数（数学表达式为 H(λ)）非常相似。如公式1所示，Heaviside阶跃函数是在特定区域中有值，而在其他区域为0的一种特殊分段函数。有值的区域用一个常数x定义。

(1)$$ H \! \left( \lambda - x \right) = \begin{cases} 0, & \lambda < x \\ 1, & \lambda \geq x \end{cases} $$

H(λ) 可以用来表示一个滤光片的透射率函数，其中 λ 是入射光波长。图 2 表示图 1 中长波通滤光片（LWP）的阶跃函数模型。

图 2: 图 1 长波通透射率曲线的阶跃函数模型

可以利用两个或更多的滤光片制成一个自定义波长范围的带通滤光片。这个概念与数学运算中，将两个Heaviside阶跃函数相乘的处理方式非常相似。为了生成一个540nm到545nm的门函数，两个Heaviside阶跃函数需要进行，如公式2和公式3中所示的相乘运算。

(2) $$text{Let:}\H_1 = H\left( \lambda - 450 \right) = \begin{cases} 0, & \lambda < 450 \ 1, & \lambda \geq 450 \end{cases} $$

$$ H_2 = H\！\left( -\lambda + 500 \right) = \begin{cases} 0, & \lambda > 500 \ 1, & \lambda \leq 500 \end{cases} $$

$$ H_1 \times H_2 = \text{BP}_{1, 2} \！\left( \lambda \right) = \begin{cases} 0, && \lambda < 450 \ 1, & 450 \leq \！&& \lambda \geq 500 \\0, && \lambda > 500 \end{cases} $$