形状因素对非球面设计的影响

随着非球面透镜可用性的增加，光学系统集成商也应该对设计过程的基本知识有所了解，才能获得最适合其需求的非球面透镜。非球面透镜是一种没有恒定曲率半径的光学透镜，因此它不是指球面透镜的一部分。使用非球面透镜可以提高性能，并能减少诸如激光设备、电影镜头、智能手机相机和手术器械等应用中所需要的透镜元件数量。

在设计非球面透镜时，考虑特定透镜的应用是非常重要的，因为这将决定透镜的形状因素。非球面的形状因子是描述透镜形状的表面曲率的比率，通常范围为-2到+2，如图1所示。形状因子的符号是基于透镜相对于被成像物体的方向。例如，形状因子为+1表示透镜的凸面或弯曲面面向物体。

Examples of lenses with varying shape factors.

图 1：具有不同形状因子的透镜示例

由 Edmund Optics® 制造的大多数非球面透镜分为两种不同的形状因子和设计方法：即 "最佳形态 "非球面透镜和 "高级 "非球面透镜。最佳形态非球面透镜开始时的形状系数为-1，因此透镜的平面侧面向物体。另一方面，高级非球面透镜使用相反的配置，其弯曲的表面面向物体，因此其形状系数为+1（图2）。透镜形状因子直接影响透镜性能，与最佳形态非球面透镜设计相比，高级非球面透镜能够更好地处理波长和视场角的变化。

图 2：最佳形态非球面透镜（左）和高级非球面（右）的方向比较，其区别在于哪个表面面向物体。

最佳形态非球面透镜

最佳形态非球面透镜是封闭式解决方案，这意味着在设计这些非球面透镜时有一个明确的优越做法。虽然这使它们的设计更简单，但也限制了它们的能力。最佳形态非球面透镜的曲面开始时的基锥常数为-1。圆锥常数是用以下公式求出 $ \small{ k = -1 \times n^2} $ 其中"$ \small{n} $"是用于透镜的玻璃或其他材料的折射率。

最佳形态非球面透镜可在给定波长下实现轴上衍射极限的聚焦光斑，但改变波长会导致色差，且在与设计波长不同的波长上性能就会降低。透镜的折射率和球差校正随波长变化，这被称为球差。这使得最佳形态非球面透镜成为单色和高准直应用的理想选择，例如激光系统。

然而，非球面透镜的平面直接将入射光线反射回光源，这在某些激光应用中可能会引发关注。将为-1配置设计的非球面透镜用于+1配置，使准直源入射到凸面上将导致性能不佳。

In best form aspheres, all the optical power comes from the curved surface facing the focused spot, leading to several disadvantages for certain situations (e.g. increased spherochromatism) compared to prime aspheres.

图3：在最佳形态非球面透镜中，所有的光功率都来自于面向焦斑的曲面，这在某些情况下导致了一些缺点（例如，与高级非球面透镜相比，球面色差增大）。

此外，当物体或光源偏离光轴时，最佳形态非球面透镜还会出现慧差。它以小角度呈现，有些小到 0.1 度。因此，这些透镜只能用于两种配置中的一种：要么在透镜的平面一侧入射无限共轭光源，要么有一个距凸面刚好一个焦距的点光源。

高级非球面透镜

高级非球面透镜设计从一个+1的基锥开始，没有封闭式的解决方案。因此，设计过程更加复杂，必须使用均匀球面非球面多项式来确定所需透镜的表面矢高

(1)$$ Z\left(s\right)= \frac {Cs^2}{1+\sqrt{1-\left(1+k\right)C^2s^2}}+A_4 s^4+A_6 s^6+A_8 s^8 + \, ... $$

(1)

$$ Z\left(s\right)= \frac {Cs^2}{1+\sqrt{1-\left(1+k\right)C^2s^2}}+A_4 s^4+A_6 s^6+A_8 s^8 + \, ... $$

其中：

$ Z $：平行于光轴的表面矢高
$ s $：与光轴的径向距离
$ C $：曲率，半径的倒数
$ k $：圆锥常数
$ A_4, \, A_6, \, A_8 \, ...$: 4、6、8...阶非球面系数

高级非球面透镜的+1形状系数表示凸面朝向物体的方向，在这个方向上两个表面都可以折射入射光线。虽然这种设置在某些应用中可能更有效，但它使设计过程更加复杂。对于高级非球面来透镜说，f/# 接近 1 的透镜会产生一个复杂的问题。(关于f/#的更多信息，请参见我们的应用要点：系统光通量、f/# 和数值孔径）。当低 f/# 透镜的曲率接近半球的曲率时，入射光线可能会被折射成一定的角度，从而发生全内反射（TIR）。通过在透镜设置中添加任意圆锥二次曲线来缓解这一问题，从而使斜向光线可以被校正为小于临界角的角度。

在上述多项式中，第二项和第四项在非球面应用中经常被调整为零，因为第二项影响到透镜的半径，第四项影响到圆锥常数。值得注意的是，这些可变常数取决于透镜的优化和一个衍射极限的光斑尺寸的存在。对于高级非球面透镜，第四项可能会有所不同，因为它不会影响优化。设计中的任何拐点都可能增加透镜制造的复杂性以及成本。

应获取非球面透镜表面曲率的横截面并检查拐点。有关非球面透镜拐点的更多信息，请参见SPIE 2012 《Asphere design for dummies》一文.¹

最佳态和高级非球面透镜的比较

虽然高级非球面透镜需要更多的时间和设计参与，但它们与最佳形态非球面透镜相比的优势往往是非常值得的。如前所述，最佳形态非球面透镜往往会与色球差和窄视场相冲突。图4图5显示了两种设计方法的光斑尺寸比较。高级设计可以减轻这些困难。高级非球面透镜的方向允许较小的光斑尺寸，因为折射力被分割在两个表面而不是一个表面。此外，这种方向会导致高级非球面透镜对光波长的变化不那么敏感。最后，高级非球面透镜在处理系统中的离轴光线和未对准方面更胜一筹。相比最佳形态设计，离轴性能更适合这些高级非球面透镜。然而，尽管高级非球面透镜优点众多，但它们也不乏其缺点。当它们的方向被翻转时，性能将变差，并可能发生全内反射。值得庆幸的是，只要熟悉高级非球面透镜的预期设计并认识到它们的正确方向，就能轻松避免这种情况。