调制传递函数简介

组件|理解|重要性|表征

当光学设计师试图比较光学系统的性能时,常用的判定标准是调制传递函数(MTF )。MTF可用于简单的部件,例如球形单镜头,以及复杂的多元件远心成像镜头组件。为了了解MTF的重要性，请参照一些定义MTF的基本定义和实际案例，包括其组成部分，重要性和特性描述。

MTF的组成部分

要正确定义调制传递函数，首先需要定义两个用于表征图像性能的术语：分辨率和对比度。

分辨率

分辨率是成像系统区分对象细节的能力。它通常以每毫米线对数（线对是指一个黑线和相邻白线的组合）来表示。这种每毫米线对数$ \small{\left(\tfrac{\text{lp}}{\text{mm}}\right)} $ 也被称为空间频率空间频率的倒数表示两个可分辨线之间的间距（以毫米为单位）。具有等间距交替白黑条的条形标靶（例如 1951 USAF 标靶 or a Ronchi标靶) 是测试系统性能的理想选择。有关测试标靶的详细使用说明，请查看选择正确的测试标靶。对于所有成像光学器件，当成像此类图案时，理想的锐利线对边缘处会不同程度地变得模糊（图1）。高分辨率图像由于变模糊程度最小而显示出大量细节。相反，低分辨率图像缺乏精细的细节。

图1：理想线对边缘在通过低分辨率成像透镜前（左）和后（右）的对比

理解线对的一个实用方法是将其视为<36>相机</36>传感器上的像素，其中单个线对对应两个像素（图2）。每个线对的图像需要两个相机传感器像素点来获取：一个像素用于红线，另一个用于线之间的空白部分。使用上述定义，现在可以将相机的图像分辨率指定为等于其像素大小的两倍。

图2：成像场景，其中(a)线对未被解析，(b)线对已被解析

相应地，物空间分辨率是通过相机的分辨率和成像透镜的主放大率（PMAG）来计算的（方程1-2）。需要注意的是，以下计算公式在使用时假设了成像透镜不造成分辨率损失。

(1)$$\TEXT｛物空间分辨率｝\left[\Large｛\unicode[Arial]｛x03BC｝｝\text{m}\right]=\frac｛\text{相机分辨率｝\left[\Large｛\unicode[Arial]｛x03BC｝｝\text{m}\right]$$

(2)$$\text{物空间分辨率 }\left[\tfrac {\text{lp}}{\text{mm}}\right]=\text{pmag}\times \text{相机分辨率}\left[\tfrac {\text{lp}}{\text{m}}}\right]$$

对比度/调制过程

考虑通过将白色线条定义为强度最大值，并定义黑色线条为强度零点来归一化线对<61>标靶</61>的强度。绘制这些强度值可得到一个方波，从中可以更容易地看出对比度的概念（图3）。理论上，对比度需要通过方程3计算：

(3)$$\text｛% Contrast｝=\left[\frac｛i_｛\text｛max｝｝- I_｛\text｛min｝｝｝｛I_｛\text｛max｝｝+ I_｛\text｛min｝｝｝\right]$$

图 3：以方波形式表述的对比度

当将同一原理应用于图1中的成像示例时，可以观察到成像前后的强度曲线（图4）。对比度或调制过程可以定义为最小和最大强度值分布从物平面到像平面的还原程度。

为了理解对比度与图像质量之间的关系，考虑一个与图1和图4中相同的分辨率的<74>成像透镜</74>，但用于成像具有更高线对频率的物体。图5说明了随着线条空间频率的增加，图像的对比度会降低。这种效应在相同分辨率的成像透镜中总是存在。为了使图像显得清晰，相机成像图片中黑色必须是定义的强度最小值，白色必须真正是定义的强度最大值，且两者之间的灰度过渡区域最小。

图4：条形图标靶及其图像的对比度

图5：物平面和像平面上的对比度比较

在实际成像应用中，<85>成像透镜</85>、<88>相机传感器</88>和<91>照明</91>共同决定了最终图像的对比度。透镜的对比度通常以其再现物空间对比度的百分比来定义。而传感器再现对比度的能力，在<94>模拟相机</94>中通常以分贝（dB）表示，在<97>数字相机</97>中则以比特表示。

了解MTF

现在已定义了调制传递函数(MTF)的两大组成部分，分辨率和对比度/调制过程, 我们进一步探讨MTF本身。顾名思义, 是衡量其在特定分辨率下将对比度从物体传递到图像的能力。。简言之，MTF是将分辨率和对比度综合为一个单一指标的方法。当<100>测试标靶</100>上的线间距减小时（即频率增加），透镜有效传递对比度减小的难度也随之增加，从而导致MTF下降（见图6）。

图6：无像差矩形孔径透镜的MTF曲线

对于使用圆形孔径的无畸变图像，MTF由方程式4给出，其中MTF是空间分辨率$\small｛\left(\xi\right)}$的函数，表示系统可以解析的最小线对间距。截止频率$\small｛\left(\xi_c \right)}$由公式6给出。

图6绘制了使用矩形孔径的无畸变图像的MTF。正如预期，随着空间分辨率的提升，MTF逐渐降低。必须注意的是,这些情况是理想化的,没有一个实际的系统是完全无像差的。

(4)$$\text{mtf}\left(\xi\right)=\frac {2}{\pi}\left(\varphi -\cos {\varphi}\cdot \sin {\varphi}\right)$$

(5)$$\varphi =\cos ^｛-1｝\left（\frac｛\xii｝｛\xi_c｝\right)$$

(6)$$\xi_c =\frac｛1｝｛\lambda \cdot \left( f/\#\right)｝$$

MTF的重要性

在传统的系统集成（以及不那么关键的应用中），系统的性能通常通过“木桶”原则进行粗略估计。“木桶”原则认为，系统的分辨率仅受限于成像分辨率最低的元件。尽管这种方法对于快速估算非常有用，但实际上是有缺陷的，因为系统中的每个组件都会对图像产生影响，导致图像质量比最弱元件单独存在时更差。

系统中的每个元件都有一个相关的调制传递函数（MTF），因此都会对系统的整体MTF有所贡献。这包括成像镜头，相机传感器，图像采集卡和视频电缆等。系统最终成像过程的MTF是其组件的所有MTF曲线的乘积(图7)。例如，可以通过评估一个25mm固定焦距镜头和25mm一个双高斯镜头，在索尼黑白相机成像后的系统性能来进行比较。通过分析系统MTF曲线，可以直接确定哪种组合将提供足够的性能。例如,在某些测量应用中, 为了准确检测图像边缘，需要一定的对比度。如果最小对比度需要为35%，则图像分辨率要求为$ 30 \tfrac｛\text｛lp｝｝｛\text｛mm｝｝$，那么 25mm双高斯镜头是最佳选择。

MTF是量化系统整体成像性能（包括分辨率和对比度）的最佳工具之一。因此,了解系统内每个成像镜头和相机传感器的MTF曲线,使设计师能够在针对特定分辨率进行优化时做出适当的系统组件选择。

图7：系统MTF是单个组件的MTF的乘积：镜头MTF x相机MTF =系统MTF

MTF的表征

确定实际MTF

从任何透镜的光学参数中都可以生成一个理论上的调制传递函数（MTF）曲线。尽管这很有帮助，但它并不能给出考虑制造公差后的透镜实际性能。制造公差总是会对原始光学设计引入一些性能损失，因为几何形状和镀膜等因素会略微偏离理想透镜或透镜系统的性能曲线。因此，在我们的制造工厂中，Edmund Optics®投资配备了光学测试和测量设备来量化系统MTF。这些MTF测试和测量设备能够表征设计透镜和商业透镜（其光学处方不公开）的实际性能。因此，上文中的讨论仅限于已知参数的透镜的精确集成系统，现在我们考虑实际的商用透镜。

阅读MTF图表/数据

MTF曲线下有更大的积分面积并不总能表示系统搭配更加合适。设计人员应根据实际应用所需的分辨率来决定。如前所述，MTF图表绘制了图像对比度的还原百分比与线条空间频率（周/mm）之间的关系。关于Edmund Optics®提供的MTF曲线,请注意以下几点:

每个MTF曲线都是针对物空间中的单一视场点计算的。典型的视场采样点包括轴上点、70%视场和全视场。70%视场是一个常见的参考点，因为它捕获了大约50%的总成像区域。
离轴MTF数据是针对子午向和弧矢向计算的（分别用T和S表示）。有时会使用两者的平均值，而不是两个单独的曲线。
MTF曲线取决于多个因素，例如系统共轭，成像波段和f/#。MTF曲线是按特定系统参数绘制的多条曲线；因此，在确定组件是否适用于特定应用之前，请务必检查这参数。
空间频率以每毫米的周期(或线对)表示。该频率的倒数给出了线对（一个黑条和一个白条的周期）的间距（以毫米为单位）。
标称MTF曲线是使用光学设计程序中可获取的理想参数信息生成的。这些参数信息也可以在我们的全球网站，印刷目录和Zemax®提供的镜头目录中找到。标称MTF仅仅代表理想情形，不考虑制造公差。

从理论上讲，MTF可能很难理解。或许理解这种将对比度从物平面转移到像平面的概念的最简单方法是参照实际的示例。图8-12比较两个25mm固定焦距成像镜头的MTF曲线和图像: #54-855有限共轭微视频镜头和#59-871紧凑型固定焦距镜头。图8显示了这两个镜头的多波段衍射MTF。根据测试条件，这两个透镜可以提供同等的性能。在这个特定的例子中, 两者都试图分辨1951年美国空军分辨率标靶(图9 )上的第2组元素5-6 (图10中的红色方框表示)和第3组元素5-6 (图10中的蓝色方框表示)。在实际情况中，第2组的元素5-6代表了6.35– $ 7.13\tfrac｛\text{lp｝｝｛\text{mm}}$(14.03 - 15.75μm) 的分辨率，而第3组的元素5-6则代表了12.70– $ 14.25 \tfrac｛\text{lp｝｝｛\text{mm}}$(7.02 - 7.87μm)。要简单地计算给定元素和群数的分辨率,请使用我们的1951年USAF Resolution Edmund Optics Tech Tool(美国空军分辨率Edmund Optics技术工具)。

在相同的测试条件下,可以清楚地看到#59-871 (具有更好的MTF曲线)与#54-855 (图11–12 )相比,成像性能更好。在这个特定的实际例子中，对于这些特定的1951 USAF元素，较高空间频率下的较高调制值对应于更清晰的图像；然而，情况并非总是如此。有些透镜被设计成能够非常准确地解析较低的空间频率，并且具有非常低的截止频率（即它们无法解析较高的空间频率）。如果目标是第-1组，元素5-6，那么这两个透镜在较低频率下的调制值会产生非常相似的图像。

图8：54-855号有限共轭Micro-Video镜头(左)和59-871号紧凑型固定焦距镜头(右)的多色衍射MTF比较

图9：1951年美国空军决议目标

有限共轭Micro-Video镜头和紧凑型固定焦距镜头分辨率分辨率组2,要素5-6(红框)和组3,元素5-6(蓝框)1951年美国空军分辨率标靶的结果比较

图10：54-855有限共轭Micro-Video镜头(左)和59-871紧凑型固定焦距镜头(右)分辨率组2，元素5-6 (红框)和组3，元素5–6 (蓝框)1951年美国空军分辨率标靶上的结果比较

有限共轭Micro-Video镜头与紧凑型固定焦距镜头分辨率组2，元素5-6在1951年美国空军分辨率标靶上的比较

图11：54-855有限共轭Micro-Video镜头(左)和59-871紧凑型固定焦距镜头(右)分辨率第2组(元素5-6)1951年美国空军分辨率标靶的结果对比

有限共轭Micro-Video镜头和紧凑型固定焦距镜头分辨率组3,元素5–61951年美国空军分辨率标靶的结果比较

图12：54-855有限共轭Micro-Video镜头(左)和59-871紧凑型固定焦距镜头(右)分辨率组3,元素5–61951年美国空军分辨率标靶的结果比较

调制传递函数(MTF)是测量图像质量的最重要参数之一。光学设计师和工程师经常参考MTF数据,特别是在特定物体成像精确度至关重要的应用中。要真正掌握MTF，首先需要了解分辨率和对比度的概念，以及物体图像如何从物平面传输到像平面。虽然最初可能令人望而生畏，但理解和最终解释MTF数据对于任何光学设计师来说都是一个非常有用的工具。凭借知识和经验，MTF可以使得选择合适的透镜的过程变得更加简单，尽管市面上有众多的透镜可以选择。

参考文献：

Dereniak, Eustace."OPTI 340 - Optical Design."Lecture, The University of Arizona, Tucson, AZ, Spring 2010.
Geary, Joseph M. "Chapter 34 – MTF: Image Quality V." In Introduction to Lens Design: With Practical Zemax Examples, 389-96.Richmond, VA: Willmann-Bell, 2002.
Hecht, Eugene."11.3.5 Transfer Functions."In Optics, 550-56.4th ed. San Francisco, CA: Addison-Wesley, 2001.
Smith, Warren J. "Chapter 15.8 The Modulation Transfer Function."In Modern Optical Engineering, 385-90.4th ed. New York, NY: McGraw-Hill Education, 2008.

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