非球面透镜不规则度与斯特列尔比

所有光学系统都有一个理论性能极限，称为衍射极限。斯特列尔比是用来比较光学系统实际性能与其衍射极限性能的指标。对于非球面透镜和其他聚焦光学元件，斯特列尔比定义为人造光学的峰值焦斑辐照度与衍射极限峰值辐照度的比值（图 1）。¹ Different aspheric lens manufacturing techniques impart unique surface errors that affect Strehl ratio differently. Understanding these effects is important to correctly specify aspheres, preventing unnecessary and costly overspecification while ensuring that desired specifications are met. This becomes increasingly crucial for fast aspheres with small f/#'s, and affects aspheres manufactured through conventional grinding and polishing more than those made through other methods. 行业标准阈值将斯特列尔比大于 0.8 的透镜分类为“衍射极限”。

图 1: 直径为 25mm 的 f/2 非球面透镜在 588nm 处的焦斑辐照度截面图。实际透镜的斯特列尔比为 0.826，符合衍射极限条件

斯特列尔比也可以与使用以下近似的 RMS 透射波前误差相关，其中，$ \small{\sigma} $ 是 RMS 波前误差。² 该近似对于透射波前误差值 < 0.2 光波有效。³

表面不规则性对斯特列尔比的影响

光学元件的斯特列尔比与其表面不规则性，或光学表面与其标称形式的偏差高度相关；表面不规则性是由采用的制造方法导致的。球面光学元件通常使用超大工具进行抛光，这种工具会在光学元件表面产生低空间频率误差。不过，非球面透镜通常通过子孔径研磨和抛光制造，因此会造成更复杂的不规则结构。了解指定表面不规则性与其底层结构之间的关系，可以帮助我们了解透镜的性能和由此产生的斯特列尔比。

例如，考虑空间频率的影响。当表面不规则性被建模为旋转对称余弦函数时，我们可以根据各种余弦周期的 RMS 表面不规则性来探索得到的斯特列尔比（图 2 和图 3）。

图 2: Typical surface irregularity errors in aspheric lens manufacturing follow cosine patterns, such as these radial cosine irregularity maps on a 25mm diameter f/2 asphere surface. The cosine periods from left to right are 20mm, 10mm, and 5mm

图 3: 对于特定 RMS 表面不规则性，非球面透镜光圈上的余弦周期越多，斯特列尔比越低

这里的关键因素不是以 mm 为单位的余弦的周期，而是透镜光圈上的周期数。对于用于非球面透镜加工的给定子光圈工具，直径较小的非球面透镜比直径较大的非球面透镜的斯特列尔比下降更小。

表面不规则性对斯特列尔比的影响也取决于透镜的 f/#。一般来说，更快的非球面透镜或 f/# 较小的非球面透镜对表面不规则性对斯特列尔比的影响更敏感。例如， 图 4 比较了 f/2 透镜和 f/0.75 透镜（两者的直径都为 25mm）。

图 4: 虚线和实线的对比表明，在给定余弦周期内，较快的非球面透镜（f/# 较小）比较慢的非球面透镜（f/# 较大）的斯特列尔比下降得更多

功率谱密度和不规则斜率

基于上述例子，不规则映射的空间频率含量对透镜的斯特列尔比有显著影响。除了 PV 或 RMS 不规则性外，还可以针对这些空间频率要求其他规范。

直接评估空间频率的一种规范叫做功率谱密度（Power Spectral Density，或称 PSD）。⁴ PSD 将根据空间频率来评估表面不规则度，可以有针对性地限制空间频率范围的影响。PSD 还可以用于同时约束所有空间频率。

要降低不规则性中的较高空间频率，一种更简单，但更有效的方法是除了约束 PV 值外，还要约束构成表面不规则图的余弦函数的斜率。对于给定的 PV 不规则极限，较高的斜率与表面上较高的空间频率相关（图 5）。斜率通常以最大 RMS 斜率值表示，相对于简单的最大斜率要求，RMS 斜率值是对透镜表面更全面的评价。⁵

图 5: 如果为表面不规则图指定了最大斜率规范，将会创建一个阈值，以减少更高空间频率内容对表面的影响

表面不规则性的空间频率对斯特列尔比和非球面透镜的性能有显著影响。在一定的表面不规则性下，周期越短，斯特列尔比下降越明显。要了解透镜表面不规则对其性能的真正影响，需要了解透镜表面不规则图的形状，而不仅仅是不规则规范本身。⁶ f/# 越小，下降越多。

参考文献

1. Strehl, Karl W. A. “Theory of the telescope due to the diffraction of light,” Leipzig, 1894.
2. Mahajan, Virendra N. "Strehl ratio for primary aberrations in terms of their aberration variance." JOSA 73.6 (1983): 860-861.
3. Smith, Warren J. Modern Optical Engineering. 4th ed., McGraw-Hill Education, 2007.
4. Lawson, Janice K., et al. "Specification of optical components using the power spectral density function." Optical Manufacturing and Testing. Vol. 2536. International Society for Optics and Photonics, 1995.
5. Messelink, Wilhelmus A., et al., "Mid-spatial frequency errors of mass-produced aspheres," Proc. SPIE 10829, Fifth European Seminar on Precision Optics Manufacturing, 7 Aug. 2018, doi:10.1117/12.2318663.
6. Kasunic, Keith J., Laser Systems Engineering, SPIE Press, 2016. (ISBN 9781510604278)

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